Espaces euclidiens A (MATH403_MATH)

Algèbre bilinéaire et quadratique.

Savoir utiliser les outils fondamentaux de l'algèbre bilinéaire.

Enseignements d'algèbre linéaire des deux premières années.

Formes bilinéaires et quadratiques. Forme bilinéaire, forme positive et définie positive, matrice représentative d'une forme bilinéaire, changement de bases, réduction (méthode de Gauss), théorème d'inertie de Sylvester, signature.

Produit scalaire et orthogonalité. Espaces préhilbertiens, euclidiens et hermitiens, théorème de Pythagore, inégalité de Cauchy-Schwarz et de Minkowski, norme euclidienne, identité du parallélogramme comme caractérisation des normes issues d'un produit scalaire, familles orthogonales et orthonormées, bases orthonormées.  Adjoint d'un endomorphisme, endomorphisme symétrique, orthogonal, normal, réduction orthogonale des endomorphismes symétriques réels. Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt, complétion d'une famille orthonormée en une base orthonormée, orthogonal d'un sous espace, supplémentaire orthogonal, équation d'un hyperplan, projection et symétrie orthogonale, distance à un sous-espace.

Comprendre le cadre euclidien et hilbertien d'un point de vue formel.

Savoir utiliser l’orthogonalité pour réduire les applications linéaires.