Algèbre linéaire (MATH302_MATH)

Structures algébriques de base et premiers éléments d'algèbre linéaire.

Compréhension des espaces vectoriels, des applications linéaires et de leur réduction.

Enseignements d'algèbre de première année.

Algèbre linéaire. Espaces vectoriel, sous-espaces, familles libres et génératrices, bases, dimension, sommes directes, supplémentaire, coordonnées, applications linéaires, matrice représentative d'une application linéaire, théorème du rang, isomorphisme, changement de base, trace et déterminant d'un endomorphisme. Espace dual, bases duales, orthogonalité, matrice transposée.

Sous-espaces stables, polynômes d'un endomorphisme. Caractérisation des endomorphismes pour lesquels un sous-espace vectoriel est stable, polynôme annulateur et polynôme minimal d'un endomorphisme, décomposition des noyaux.

Réduction d'un endomorphisme. Valeurs propres et vecteurs propres d'un endomorphisme, valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice carrée, polynôme caractéristique (ordre de multiplicité d'une valeur propre, dimension du sous-espace propre associé, théorème de Cayley-Hamilton), réduction d'un endomorphisme en dimension finie, endomorphisme et matrices diagonalisables et trigonalisables, décomposition Jordan et de Dunford.

TP : Factorisation QR et de Cholesky, Détermination des éléments propres d'une matrice symétrique (méthode de Jacobi, méthodes de tri-diagonalisation de Givens et de Lanczos-Householder). compléments : détermination des éléments propres pour des matrices de grande dimension, méthode de la puissance itérée.

Savoir utiliser les outils de l’algèbre linéaire : les techniques comme le cadre conceptuel où elles opèrent.