Groupes, anneaux et corps (MATH601_MATH)

Structures algébriques : groupes, anneaux, idéaux, corps. Polynômes.

Initiation à la théorie des groupes.

Connaissance des propriétés des anneaux et des corps.

Présentation des polynômes dans un cadre abstrait.

Enseignement d'algèbre de deuxième année.

Groupes. Sous-groupe engendré par une partie, groupe libre, sous-groupes distingués, groupes diédraux et groupes classiques, groupes opérant sur un ensemble, définitions et exemples. Groupes finis : théorèmes de Sylow et groupes abéliens finis.

Anneaux. Divisibilité dans un anneau principal (p.g.c.d. et p.p.c.m., identité de Bézout, éléments irréductibles, décomposition d'un élément, corps des fractions d'un anneau), anneaux euclidiens, anneaux factoriels, théorème de transfert des anneaux factoriels, séries formelles, rationalité des séries formelles.

Corps. Théorie élémentaire des extensions de corps, corps premier, corps finis, corps algébriquement clos, clôture algébrique.

Savoir se servir des structures algébriques.

Savoir repérer des structures abstraites dans des situations connues ou nouvelles en vue de formaliser les questions et d'y apporter des réponses générales.