Equations différentielles (MATH603_MATH)

Présentation du problème de Cauchy associé à une équation différentielle, de sa résolution, de l'approximation de sa solution.

Connaître la théorie des équations différentielles générales.

Connaître les méthodes de résolution exacte des équations différentielles classiques.

Pouvoir écrire et programmer des méthodes de résolution numérique des systèmes différentiels.

Enseignements d'analyse des deux premières années.

Equations différentielles et systèmes différentielles linéaires à coefficients constants. Résolution explicites, transformée de Laplace, Wronskien, stabilité des solutions.

Equations différentielles et systèmes différentiels. Solutions maximales, théorème de Cauchy-Lipschitz, espace des solutions, équations différentielles particulières. Lemme de Grönwall, propriétés qualitatives, dépendance par rapport aux conditions initiales. Champs de vecteurs, trajectoires, système de Lotka-Voltera, équations différentielles implicites, solutions singulières. Stabilité des solutions, des solutions stationnaires, comportement asymptotique.

Méthodes numériques pour les équations différentielles. Discrétisation par différences finies, consistance, ordre, stabilité et convergence d’un schéma. Approximation des solutions des équations différentielles, méthodes d'Euler et de Runge-Kutta, Adams-Bashford, Crank-Nicholson

TP : Utilisation de Matlab pour observer le comportement d’équation d’évolution (proies-prédateurs), mise en œuvre et comparaison de différents schémas numériques.

Connaître les conditions d'existence et d'unicité de la solution d'une équation différentielle.

Savoir résoudre une équation différentielle simple.

Pouvoir approcher la solution d'un problème différentiel.