Structure algébrique et arithmétique (MATH402_MATH)

Cardinalités. Généralités sur les structures de groupe, anneau, corps. Application à l'arithmétique.

Introduire et étudier les structures de base de l'algèbre : groupes, anneaux et corps.

Appliquer ces outils à  l'arithmétique.

Enseignements d'algèbre de première année.

Cardinalité. Ensembles finis, ensembles dénombrables, théorème de Cantor, puissance du continu.

Structures algébriques et structures quotient.

Groupes. Groupes, sous-groupes, morphismes, noyau, ordre d'un élément, groupe monogène, groupe cyclique, quotient d'un groupe commutatif, indice d'un sous-groupe, théorème de Lagrange. Exemples : Groupe cyclique Z/nZ, groupe symétrique S_n (générateurs et groupes alternés A_n) et sous-groupes de (R,+).

Anneaux. Anneaux, sous-anneaux, morphismes, idéaux, quotient d'un anneau par un idéal, idéaux premiers et maximaux et introduction élémentaire à la structure de corps (corps et morphismes de corps).

Algèbres. Structure d'algèbre, polynômes en plusieurs indéterminées sur un corps, polynômes symétriques, séries formelles et exemples d'algèbres de fonctions venant de l'analyse.

Arithmétique des entiers & des polynômes. Quotients de Z, divisibilité, ppcm, pgcd, éléments premiers, éléments irréductibles, les nombres premiers forment un ensemble infini, énoncé du théorème des nombres premiers (sans preuve), algorithme d'Euclide, théorème de Gauss, théorème de Bézout, théorème chinois, calcul de la fonction d'Euler, petit théorème de Fermat, équations diophantiennes, résultant.

TP : Algorithmes d'Euclide, cribles des nombres premiers. Chiffrement RSA.

Manipuler des structures algébriques abstraites.

Maitriser les outils de l'arithmétique nécessaires à la résolution d'équations diophantiennes classiques.