Algèbre linéaire & réduction des endomorphismes (MATH302_MATH)

Volume horaire

CM : 24h / TD : 24h / TP : 6h

Présentation

Structures algébriques de base et premiers éléments d'algèbre linéaire

Objectifs

Connaissance des structures élémentaires

Utilisation des polynômes et fractions rationnelles

Compréhension des espaces vectoriels et des applications linéaires

Compétences acquises

  • Comprendre les structures de l’algèbre.
  • Savoir utiliser les outils de l’algèbre linéaire : les techniques comme le cadre conceptuel qui permet ces techniques.

Pré-requis

Enseignements d'algèbre de première année

Plan du cours

- Algèbre linéaire. Espaces vectoriel, sous-espaces, familles libres et génératrices, bases, dimension, sommes directes, supplémentaire, coordonnées, applications linéaires, matrice représentative d'une application linéaire, théorème du rang, isomorphisme, changement de base, trace et déterminant d'un endomorphisme. Espace dual, bases duales, matrice transposée, transformations orthogonales, symétriques, hermitiennes.

- Sous-espaces stables, polynômes d'un endomorphisme. Caractérisation des endomorphismes pour lesquels un sous-espace vectoriel est stable, polynôme minimal d'un endomorphisme, décomposition des noyaux.

- Réduction d'un endomorphisme. Valeurs propres et vecteurs propres d'un endomorphisme, valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice carrée, polynôme caractéristique (ordre de multiplicité d'une valeur propre, dimension du sous-espace propre associé, théorème de Cayley-Hamilton), réduction d'un endomorphisme en dimension finie, endomorphisme et matrices diagonalisables et trigonalisables, décomposition Jordan et de Dunford.

TP : Factorisation QR et de Cholesky, Détermination des éléments propres d'une matrice symétrique (méthode de Jacobi, méthodes de tri-diagonalisation de Givens et de Lanczos-Householder). compléments : détermination des éléments propres pour des matrices de grande dimension, méthode de la puissance itérée.

 

Diplômes intégrant ce cours

En bref

Crédits ECTS : 6

Méthode d'enseignement
En présence

Langue d'enseignement
Français

Contact(s)

UFR, Écoles, Instituts

Responsable(s)

Christian Lecot

Email : Christian.Lecot @ univ-smb.fr

Lieu(x)

  • Le Bourget-du-Lac (73)