Mathématiques spécialisées (MATH642_IAI)

Présentation

Ce cours apporte des compléments mathématiques indispensables pour la compréhension et la représentation de signaux analogiques et numériques dans le domaine spatial et fréquentiel en s'appuyant sur la théorie des distributions. Il permet de mieux comprendre et manipuler les signaux et les phénomènes qui ne peuvent pas être représentés par des fonctions classiques (impulsions, transformées de Fourier de signaux periodiques...). Cet enseignement apporte également les outils mathématiques nécessaires à l'étude des signaux discrets (Transformée en Z, Transformée de Fourier Discrète...) et les bases des méthodes d'optimisation.

Objectifs

Ce cours vise à rendre l'élève apte à :

Niveau

A l'issue de ce cours l'élève sera capable :

utiliser les distributions pour représenter les signaux continus dans le domaine temporel et fréquentiel

Application

de faire des calculs à l'aide des distributions régulières (associées aux fonctions) et non-régulières (Dirac,...) : convolution, Transformée de Laplace, de Fourier...

de passer des représentations continues aux représentations discrètes des signaux

Application

de maîtriser les phénomènes de repliement spectrale et les équivalences entre fréquences réelles (analogique) et calculées par Transformée de Fourier Discrète.

  

de manipuler les principales transformées discrètes utilisées en traitement numérique du signal (TNS)

analyser un problème d'optimisation

Notion

d'appliquer à un problème d'optimisation les techniques de base : recherche de points critique, calcul de Hessien, descente de gradient, utilisation des multiplicateurs de Lagrange…

Pré-requis

  • EEATS531 - Signaux et Systèmes : notions de signaux analogiques et numériques
  • MATH631 - Mathématiques II : Intégrales généralisées dépendant d'un paramètre, Produit de convolution; Transformée de Fourier, transformée de Laplace des fonctions

Plan du cours

Plan du cours

  1. Distributions de Schwartz
    1. Espace des fonctions test, convergence
    2. Distributions régulières et singulières
    3. Opérations sur les distributions (dérivation, convolution, limites, changement d'échelle, …)
  2. Distributions tempérées
    1. Nouvel espace des fonctions test et distributions tempérées
    2. Transformée de Fourier (TF) des distributions
    3. Propriétés, cas des distributions associées à des fonctions périodiques
  3. Echantillonnage et passage du continu au discret
    1. Modèle mathématique de l'échantillonnage
    2. Représentation dans le domaine de Fourier
    3. Théorème de reconstitution (Shannon) Convolution des signaux échantillonnés
  4. Transformation en Z - TF des signaux échantillonnés
    1. Définition, domaine de convergence, exemples
    2. Principales propriétés et conditions de validité (linéarité, translation, retournement, convolution discrète…)
  5. Introduction à l'optimisation
    1. Optimisation sans contrainte
    2. Optimisation sous contraintes d'égalité
    3. Optimisation sous contraintes d'inégalité

Volume horaire

  • CM : 18.0
  • TD : 18.0

Informations complémentaires

Bibliographie

Diplômes intégrant ce cours

En bref

Langue d'enseignement
Français

Contact(s)

UFR, Écoles, Instituts